2016-1
Информация о задаче
Задача №2016 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{x^5+x^4-8}{x^3-4x}dx[/math].
Решение
Разделив многочлен [math]x^5+x^4-8[/math] на многочлен [math]x^3-4x[/math], получим:
[dmath] x^5+x^4-8=\left(x^3-4x\right)\cdot\left(x^2+x+4\right)+4x^2+16x-8 [/dmath]
[dmath] \frac{x^5+x^4-8}{x^3-4x} =\frac{\left(x^3-4x\right)\cdot\left(x^2+x+4\right)+4x^2+16x-8}{x^3-4x} =x^2+x+4+\frac{4x^2+16x-8}{x(x-2)(x+2)} [/dmath]
Для разложения дроби на элементарные можно применить, например, метод вычёркивания, описанный в 2014-1, однако для разнообразия применим метод подстановки.
[dmath] \frac{4x^2+16x-8}{x(x-2)(x+2)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2} =\frac{A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2)}{x(x-2)(x+2)} [/dmath]
[dmath] 4x^2+16x-8 =A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2) [/dmath]
[dmath] \begin{aligned} & x=0;\;-8=-4A;\;A=2.\\ & x=2;\;40=8B;\;B=5.\\ & x=-2;\;-24=8C;\;C=-3.\\ \end{aligned} [/dmath]
Возвращаясь к интегралу, получим:
[dmath] \int\frac{x^5+x^4-8}{x^3-4x}dx =\int\left(x^2+x+4+\frac{2}{x}+\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2} \right)dx =\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+4x+2\ln|x|+5\ln|x-2|-3\ln|x+2|+C. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+4x+2\ln|x|+5\ln|x-2|-3\ln|x+2|+C[/math]
