Задача №1573
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^5+x^4-8}{x^3-4x}dx\).
Решение
Разделив многочлен \(x^5+x^4-8\) на многочлен \(x^3-4x\), получим:
\[
x^5+x^4-8=\left(x^3-4x\right)\cdot\left(x^2+x+4\right)+4x^2+16x-8
\]
\[
\frac{x^5+x^4-8}{x^3-4x}
=\frac{\left(x^3-4x\right)\cdot\left(x^2+x+4\right)+4x^2+16x-8}{x^3-4x}
=x^2+x+4+\frac{4x^2+16x-8}{x(x-2)(x+2)}
\]
Для разложения дроби на элементарные можно применить, например, метод вычёркивания, описанный в 1571, однако для разнообразия применим метод подстановки.
\[
\frac{4x^2+16x-8}{x(x-2)(x+2)}
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}
=\frac{A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2)}{x(x-2)(x+2)}
\]
\[
4x^2+16x-8
=A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2)
\]
\[
\begin{aligned}
& x=0;\;-8=-4A;\;A=2.\\
& x=2;\;40=8B;\;B=5.\\
& x=-2;\;-24=8C;\;C=-3.\\
\end{aligned}
\]
Возвращаясь к интегралу, получим:
\[
\int\frac{x^5+x^4-8}{x^3-4x}dx
=\int\left(x^2+x+4+\frac{2}{x}+\frac{5}{x-2}-\frac{3}{x+2} \right)dx=\\
=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+4x+2\ln|x|+5\ln|x-2|-3\ln|x+2|+C.
\]
Ответ:
\(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+4x+2\ln|x|+5\ln|x-2|-3\ln|x+2|+C\)