Задача №1572
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{6x^3-7x^2-3x}\).
Значения параметров \(A\), \(B\), \(C\) можно найти разными путями, но самый быстрый – так называемый метод вычёркивания, который описан в первом томе двухтомника Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (2005 г, глава №7, параграф №7). Этот метод описан в книге для дробей вида \(\frac{A}{(x-a)^k}\), однако без каких-либо модификаций он работает и для дробей вида \(\frac{A}{(kx+b)^c}\).
Чтобы найти значение \(A\), вычёркиваем в дроби \(\frac{1}{x(2x-3)(3x+1)}\) множитель \(x\), а в оставшееся выражение подставляем \(x=0\):
Чтобы найти значение \(B\), вычёркиваем в дроби \(\frac{1}{x(2x-3)(3x+1)}\) скобку \((2x-3)\), а в оставшееся выражение подставляем \(x=\frac{3}{2}\):
Аналогично находим значение \(C\):
Возвращаясь к исходному интегралу, получим: