2015-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2015 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{6x^3-7x^2-3x}[/math].

Решение

[dmath] \frac{1}{6x^3-7x^2-3x} =\frac{1}{x(2x-3)(3x+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-3}+\frac{C}{3x+1} [/dmath]

Значения параметров [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] можно найти разными путями, но самый быстрый – так называемый метод вычёркивания, который описан в первом томе двухтомника Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (2005 г, глава №7, параграф №7). Этот метод описан в книге для дробей вида [math]\frac{A}{(x-a)^k}[/math], однако без каких-либо модификаций он работает и для дробей вида [math]\frac{A}{(kx+b)^c}[/math].

Чтобы найти значение [math]A[/math], вычёркиваем в дроби [math]\frac{1}{x(2x-3)(3x+1)}[/math] множитель [math]x[/math], а в оставшееся выражение подставляем [math]x=0[/math]:

[dmath] A=\left.\frac{1}{(2x-3)(3x+1)}\right|_{x=0} =-\frac{1}{3}. [/dmath]

Чтобы найти значение [math]B[/math], вычёркиваем в дроби [math]\frac{1}{x(2x-3)(3x+1)}[/math] скобку [math](2x-3)[/math], а в оставшееся выражение подставляем [math]x=\frac{3}{2}[/math]:

[dmath] B=\left.\frac{1}{x(3x+1)}\right|_{x=\frac{3}{2}} =\frac{4}{33}. [/dmath]

Аналогично находим значение [math]C[/math]:

[dmath] C=\left.\frac{1}{x(2x-3)}\right|_{x=-\frac{1}{3}} =\frac{9}{11}. [/dmath]

Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

[dmath] \int\frac{dx}{6x^3-7x^2-3x} =\int\left(-\frac{1}{3x}+\frac{4}{33(2x-3)}+\frac{9}{11(3x+1)}\right)dx =-\frac{1}{3}\ln|x|+\frac{2}{33}\ln|2x-3|+\frac{3}{11}\ln|3x+1|+C [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{1}{3}\ln|x|+\frac{2}{33}\ln|2x-3|+\frac{3}{11}\ln|3x+1|+C[/math]