2014-1

Информация о задаче

Задача №2014 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}dx[/math].

Решение

[dmath] \frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-4} [/dmath]

Значения параметров [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math] можно найти разными путями, но самый быстрый – так называемый метод вычёркивания, который описан в первом томе двухтомника Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (2005 г, глава №7, параграф №7).

Чтобы найти значение [math]A[/math], вычёркиваем в дроби [math]\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}[/math] скобку [math](x-1)[/math], а в оставшееся выражение подставляем [math]x=1[/math]:

[dmath] A=\left.\frac{2x^2+41x-91}{(x+3)(x-4)}\right|_{x=1} =4. [/dmath]

Аналогично находим значения [math]B[/math] и [math]C[/math]:

[dmath] B=\left.\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x-4)}\right|_{x=-3} =-7;\; C=\left.\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)}\right|_{x=4} =5. [/dmath]

Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

[dmath] \int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}dx =\int\left(\frac{4}{x-1}-\frac{7}{x+3}+\frac{5}{x-4}\right)dx =4\ln|x-1|-7\ln|x+3|+5\ln|x-4|+C [/dmath]

Ответ

[math]4\ln|x-1|-7\ln|x+3|+5\ln|x-4|+C[/math]