Задача №1571
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}dx\).
Решение
\[
\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}
=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-4}
\]
Значения параметров \(A\), \(B\), \(C\) можно найти разными путями, но самый быстрый – так называемый метод вычёркивания, который описан в первом томе двухтомника Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (2005 г, глава №7, параграф №7).
Чтобы найти значение \(A\), вычёркиваем в дроби \(\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}\) скобку \((x-1)\), а в оставшееся выражение подставляем \(x=1\):
\[
A=\left.\frac{2x^2+41x-91}{(x+3)(x-4)}\right|_{x=1}
=4.
\]
Аналогично находим значения \(B\) и \(C\):
\[
B=\left.\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x-4)}\right|_{x=-3}
=-7;\;
C=\left.\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)}\right|_{x=4}
=5.
\]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int\frac{2x^2+41x-91}{(x-1)(x+3)(x-4)}dx
=\int\left(\frac{4}{x-1}-\frac{7}{x+3}+\frac{5}{x-4}\right)dx
=4\ln|x-1|-7\ln|x+3|+5\ln|x-4|+C
\]
Ответ:
\(4\ln|x-1|-7\ln|x+3|+5\ln|x-4|+C\)