2013-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2013 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{xdx}{2x^2-3x-2}[/math].

Решение

[dmath] \frac{x}{2x^2-3x-2} =\frac{\frac{x}{2}}{\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-2)} =\frac{A}{x+\frac{1}{2}}+\frac{B}{x-2} =\frac{A(x-2)+B\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)(x-2)} [/dmath]

[dmath] \frac{x}{2}=A(x-2)+B\left(x+\frac{1}{2}\right);\\ \begin{aligned} & x=-\frac{1}{2};\;-\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}A;\;A=\frac{1}{10}.\\ & x=2;\;1=\frac{5}{2}B;\;B=\frac{2}{5}. \end{aligned} [/dmath]

[dmath] \int\frac{xdx}{2x^2-3x-2} =\int\left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{2}}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x-2}\right)dx =\frac{1}{10}\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+\frac{2}{5}\ln|x-2|+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{10}\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+\frac{2}{5}\ln|x-2|+C[/math]