2012-1
Информация о задаче
Задача №2012 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{xdx}{(x+1)(2x+1)}[/math].
Решение
[dmath] \frac{\frac{x}{2}}{(x+1)\left(x+\frac{1}{2}\right)} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+\frac{1}{2}} =\frac{A\left(x+\frac{1}{2}\right)+B(x+1)}{(x+1)\left(x+\frac{1}{2}\right)} [/dmath]
[dmath] \begin{aligned} & \frac{x}{2}=A\left(x+\frac{1}{2}\right)+B(x+1);\\ &x=-1;\;-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}A;\;A=1.\\ &x=-\frac{1}{2};\;-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}B;\;B=-\frac{1}{2}. \end{aligned} [/dmath]
[dmath] \int\frac{xdx}{(x+1)(2x+1)} =\int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{2}}\right)dx =\ln|x+1|-\frac{1}{2}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+C [/dmath]
Ответ
[math]\ln|x+1|-\frac{1}{2}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+C[/math]
