Задача №1569
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{xdx}{(x+1)(2x+1)}\).
Решение
\[
\frac{\frac{x}{2}}{(x+1)\left(x+\frac{1}{2}\right)}
=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+\frac{1}{2}}
=\frac{A\left(x+\frac{1}{2}\right)+B(x+1)}{(x+1)\left(x+\frac{1}{2}\right)}
\]
\[
\begin{aligned}
& \frac{x}{2}=A\left(x+\frac{1}{2}\right)+B(x+1);\\
& x=-1;\;-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}A;\;A=1.\\
& x=-\frac{1}{2};\;-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}B;\;B=-\frac{1}{2}.
\end{aligned}
\]
\[
\int\frac{xdx}{(x+1)(2x+1)}
=\int\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{2}}\right)dx
=\ln|x+1|-\frac{1}{2}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+C
\]
Ответ:
\(\ln|x+1|-\frac{1}{2}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{2}\right|+C\)