2011-1
Информация о задаче
Задача №2011 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\cos^3{x}\sqrt{\sin{2x}}}[/math].
Решение
Отмечу, что подынтегральная функция определена и непрерывна на том же множестве [math]\bigcup\limits_{n\in{Z}}\left(\pi{n};\frac{\pi}{2}+\pi{n}\right)[/math], на котором верно неравенство [math]\tg{x}\gt{0}[/math].
[dmath] \int\frac{dx}{\cos^3{x}\sqrt{\sin{2x}}} =\int\frac{dx}{\cos^3{x}\sqrt{2\tg{x}\cos^2{x}}} =\sgn(\cos{x})\int\frac{d(\tg{x})}{\frac{1}{1+\tg^2{x}}\cdot\sqrt{2\tg{x}}} =\left[z=\tg{x}\right]=\\ =\frac{\sgn(\cos{x})}{\sqrt{2}}\cdot\int\frac{\left(1+z^2\right)dz}{\sqrt{z}} =\frac{\sgn(\cos{x})}{\sqrt{2}}\cdot\left(2\sqrt{z}+\frac{2z^2\sqrt{z}}{5}\right)+C =\frac{\sqrt{2}\cdot\sgn(\cos{x})}{5}\cdot\left(\tg^2{x}+5\right)\sqrt{\tg{x}}+C. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{\sqrt{2}\cdot\sgn(\cos{x})}{5}\cdot\left(\tg^2{x}+5\right)\sqrt{\tg{x}}+C[/math]
