Задача №1568
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{\cos^3{x}\sqrt{\sin{2x}}}\).
Решение
Отмечу, что подынтегральная функция определена и непрерывна на том же множестве \(\bigcup\limits_{n\in{Z}}\left(\pi{n};\frac{\pi}{2}+\pi{n}\right)\), на котором верно неравенство \(\tg{x}\gt{0}\).
\[
\int\frac{dx}{\cos^3{x}\sqrt{\sin{2x}}}
=\int\frac{dx}{\cos^3{x}\sqrt{2\tg{x}\cos^2{x}}}
=\sgn(\cos{x})\int\frac{d(\tg{x})}{\frac{1}{1+\tg^2{x}}\cdot\sqrt{2\tg{x}}}
=\left[z=\tg{x}\right]=\\
=\frac{\sgn(\cos{x})}{\sqrt{2}}\cdot\int\frac{\left(1+z^2\right)dz}{\sqrt{z}}
=\frac{\sgn(\cos{x})}{\sqrt{2}}\cdot\left(2\sqrt{z}+\frac{2z^2\sqrt{z}}{5}\right)+C
=\frac{\sqrt{2}\cdot\sgn(\cos{x})}{5}\cdot\left(\tg^2{x}+5\right)\sqrt{\tg{x}}+C.
\]
Ответ:
\(\frac{\sqrt{2}\cdot\sgn(\cos{x})}{5}\cdot\left(\tg^2{x}+5\right)\sqrt{\tg{x}}+C\)