2010-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2010 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sqrt[3]{\frac{\sin^2{x}}{\cos^{14}{x}}}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\sqrt[3]{\frac{\sin^2{x}}{\cos^{14}{x}}}dx =\int\sqrt[3]{\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}}\cdot\frac{1}{\cos^2{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}} =\int\sqrt[3]{\tg^2{x}}\left(1+\tg^2{x}\right)d\left(\tg{x}\right)=\\ =\int\left(\left(\tg{x}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\tg{x}\right)^{\frac{8}{3}}\right)d\left(\tg{x}\right) =\frac{3}{5}\left(\tg{x}\right)^{\frac{5}{3}}+\frac{3}{11}\left(\tg{x}\right)^{\frac{11}{3}}+C =\frac{3}{55}\sqrt[3]{\tg^5{x}}\cdot\left(5\tg^2{x}+11\right)+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{3}{55}\sqrt[3]{\tg^5{x}}\cdot\left(5\tg^2{x}+11\right)+C[/math]