Задача №1567
Условие
Найти интеграл \(\int\sqrt[3]{\frac{\sin^2{x}}{\cos^{14}{x}}}dx\).
Решение
\[
\int\sqrt[3]{\frac{\sin^2{x}}{\cos^{14}{x}}}dx
=\int\sqrt[3]{\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}}\cdot\frac{1}{\cos^2{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}
=\int\sqrt[3]{\tg^2{x}}\left(1+\tg^2{x}\right)d\left(\tg{x}\right)=\\
=\int\left(\left(\tg{x}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(\tg{x}\right)^{\frac{8}{3}}\right)d\left(\tg{x}\right)
=\frac{3}{5}\left(\tg{x}\right)^{\frac{5}{3}}+\frac{3}{11}\left(\tg{x}\right)^{\frac{11}{3}}+C
=\frac{3}{55}\sqrt[3]{\tg^5{x}}\cdot\left(5\tg^2{x}+11\right)+C
\]
Ответ:
\(\frac{3}{55}\sqrt[3]{\tg^5{x}}\cdot\left(5\tg^2{x}+11\right)+C\)