Задача №1565
Условие
Найти интеграл \(\int\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx\).
Решение
Подынтегральная функция определена и непрерывна при \(x\ge{0}\).
\[
\int\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx
=\left[\begin{aligned}
& u=\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}};\;du=-\frac{dx}{2\sqrt{x}(x+1)};\\
& dv=dx;\;v=x.
\end{aligned}\right]=\\
=x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\int\frac{xdx}{2\sqrt{x}(x+1)}
=x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\int\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2d\left(\sqrt{x}\right)}{1+\left(\sqrt{x}\right)^2}=\\
=x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\int\left(1+\frac{1}{1+\left(\sqrt{x}\right)^2}\right)d\left(\sqrt{x}\right)
=x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\sqrt{x}-\arctg\sqrt{x}+C.
\]
Ответ:
\(x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\sqrt{x}-\arctg\sqrt{x}+C\)