2008-1

Информация о задаче

Задача №2008 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx[/math].

Решение

Подынтегральная функция определена и непрерывна при [math]x\ge{0}[/math].

[dmath] \int\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx \left[\begin{aligned} & u=\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}};\;du=-\frac{dx}{2\sqrt{x}(x+1)};\\ & dv=dx;\;v=x. \end{aligned}\right] =x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\int\frac{xdx}{2\sqrt{x}(x+1)}=\\ =x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\int\frac{\left(\sqrt{x}\right)^2d\left(\sqrt{x}\right)}{1+\left(\sqrt{x}\right)^2} =x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\int\left(1+\frac{1}{1+\left(\sqrt{x}\right)^2}\right)d\left(\sqrt{x}\right) =x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\sqrt{x}-\arctg\sqrt{x}+C. [/dmath]

Ответ

[math]x\arccos\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\sqrt{x}-\arctg\sqrt{x}+C[/math]