Задача №1564
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{x^6+x^4}\).
Решение
Сперва разложим подынтегральную дробь на элементарные:
\[
\frac{1}{x^6+x^4}
=\frac{1}{x^4\left(x^2+1\right)}
=\frac{x^4+1-x^4}{x^4\left(x^2+1\right)}=\\
=\frac{x^4}{x^4\left(x^2+1\right)}-\frac{x^4-1}{x^4\left(x^2+1\right)}
=\frac{1}{1+x^2}-\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x^4\left(x^2+1\right)}
=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}.
\]
Перейдём к исходному интегралу:
\[
\int\frac{dx}{x^6+x^4}
=\int\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}\right)dx
=\arctg{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{3x^3}+C.
\]
Ответ:
\(\arctg{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{3x^3}+C\)