2007-1
Информация о задаче
Задача №2007 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x^6+x^4}[/math].
Решение
Сперва разложим подынтегральную дробь на элементарные:
[dmath] \frac{1}{x^6+x^4} =\frac{1}{x^4\left(x^2+1\right)} =\frac{x^4+1-x^4}{x^4\left(x^2+1\right)}=\\ =\frac{x^4}{x^4\left(x^2+1\right)}-\frac{x^4-1}{x^4\left(x^2+1\right)} =\frac{1}{1+x^2}-\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x^4\left(x^2+1\right)} =\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}. [/dmath]
Перейдём к исходному интегралу:
[dmath] \int\frac{dx}{x^6+x^4} =\int\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}\right)dx =\arctg{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{3x^3}+C. [/dmath]
Ответ
[math]\arctg{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{3x^3}+C[/math]
