2006-1

Информация о задаче

Задача №2006 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\ln(x+1)-\ln{x}}{x(x+1)}dx[/math].

Решение

Так как [math]\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}[/math], то [math]d\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)=-\frac{dx}{x(x+1)}[/math].

[dmath] \int\frac{\ln(x+1)-\ln{x}}{x(x+1)}dx =-\int\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)d\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right) =-\frac{\left(\ln(x+1)-\ln{x}\right)^2}{2}+C =-\frac{1}{2}\ln^2\left(1+\frac{1}{x}\right)+C [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{1}{2}\ln^2\left(1+\frac{1}{x}\right)+C[/math]