2005-1

Информация о задаче

Задача №2005 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sqrt{e^x-1}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\sqrt{e^x-1}dx =\left[\begin{aligned} & t=\sqrt{e^x-1};\;x=\ln\left(t^2+1\right).\\ & dx=\frac{2tdt}{t^2+1}. \end{aligned}\right] =\int\frac{2t^2dt}{t^2+1}=\\ =2\int\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt =2t-2\arctg{t}+C =2\sqrt{e^x-1}-2\arctg\sqrt{e^x-1}+C. [/dmath]

Ответ

[math]2\sqrt{e^x-1}-2\arctg\sqrt{e^x-1}+C[/math]