2002-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2002 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^4dx}{\left(1+x^2\right)^3}[/math].

Решение

[dmath] \int\frac{x^4dx}{\left(1+x^2\right)^3} =\left[\begin{aligned} & u=x^3;\;du=3x^2dx;\\ & dv=\frac{xdx}{\left(1+x^2\right)^3};\;v=-\frac{1}{4\left(1+x^2\right)^2}. \end{aligned}\right] =-\frac{x^3}{4\left(1+x^2\right)}+\frac{3}{4}\int\frac{x^2dx}{\left(1+x^2\right)^2}=\\ =\left[\begin{aligned} & u=x;\;du=dx;\\ & dv=\frac{xdx}{\left(1+x^2\right)^2};\;v=-\frac{1}{2\left(1+x^2\right)}. \end{aligned}\right] =-\frac{x^3}{4\left(1+x^2\right)}-\frac{3}{8}\cdot\frac{x}{1+x^2}+\frac{3}{8}\int\frac{dx}{1+x^2} =-\frac{x^3}{4\left(1+x^2\right)}-\frac{3}{8}\cdot\frac{x}{1+x^2}+\frac{3}{8}\arctg{x}+C. [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{x^3}{4\left(1+x^2\right)}-\frac{3}{8}\cdot\frac{x}{1+x^2}+\frac{3}{8}\arctg{x}+C[/math]