2001-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №2001 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{1-x^3}}{x^2\sqrt{x}}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\frac{\sqrt{1-x^3}}{x^2\sqrt{x}}dx =\left[\begin{aligned} & z=\sqrt{x^3};\;dx=\frac{2dz}{3\sqrt[3]{z}}.\\ & 0\lt{z}\le{1}. \end{aligned}\right] =\frac{2}{3}\int\frac{\sqrt{1-z^2}}{z^2}dz =\left[z=\sin{t};\;0\lt{t}\le\frac{\pi}{2}.\right]=\\ =\frac{2}{3}\int\frac{\cos^2{t}}{\sin^2{t}}dt =\frac{2}{3}\int\left(\frac{1}{\sin^2{t}}-1\right)dt =-\frac{2}{3}\ctg{t}-\frac{2}{3}t+C =-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1-x^3}{x^3}}-\frac{2}{3}\arcsin\sqrt{x^3}+C. [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{1-x^3}{x^3}}-\frac{2}{3}\arcsin\sqrt{x^3}+C[/math]