1999-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1999 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^5dx}{\sqrt{x^4+4}}[/math].

Решение

При нахождении данного интеграла полагаем, что нам уже известен интеграл [math]\int\sqrt{x^2+a^2}dx[/math]. Вывод этого интеграла был осуществлён в 1866-1.

[dmath] \int\frac{x^5dx}{\sqrt{x^4+4}} =\left[u=x^2\right] =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{u^2du}{\sqrt{u^2+4}} =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{u^2+4-4}{\sqrt{u^2+4}}du=\\ =\frac{1}{2}\int\sqrt{u^2+4}du-2\int\frac{du}{\sqrt{u^2+4}} =\frac{u\sqrt{u^2+4}}{4}-\ln\left(u+\sqrt{u^2+4}\right)+C =\frac{x^2\sqrt{x^4+4}}{4}-\ln\left(x^2+\sqrt{x^4+4}\right)+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{x^2\sqrt{x^4+4}}{4}-\ln\left(x^2+\sqrt{x^4+4}\right)+C[/math]