1998-1
Информация о задаче
Задача №1998 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{xdx}{\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}}}[/math].
Решение
Первый способ
[dmath] \int\frac{xdx}{\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}}} =\left[t=x^2\right] =\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\left(1-t^2\right)^{\frac{3}{2}}} =\left[\begin{aligned} & t=\sin{z};\;t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right);\\ & dt=\cos{z}dz. \end{aligned}\right]=\\ =\frac{1}{2}\int\frac{dz}{\cos^2{z}} =\frac{\tg{z}}{2}+C =\frac{\sin{z}}{2\sqrt{1-\sin^2{z}}}+C =\frac{t}{2\sqrt{1-t^2}}+C =\frac{x^2}{2\sqrt{1-x^4}}+C. [/dmath]
Второй способ
[dmath] \int\frac{xdx}{\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}}} =\int\frac{x^3dx}{x^2\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}}} =-\frac{1}{4}\int\frac{d\left(1-x^4\right)}{x^2\cdot\left(1-x^4\right)^{\frac{3}{2}}} =\left[t=1-x^4\right]=\\ =-\frac{1}{4}\int\frac{dt}{\sqrt{1-t}\cdot{t^{\frac{3}{2}}}} =-\frac{1}{4}\int\frac{dt}{t^2\sqrt{\frac{1}{t}-1}} =\frac{1}{4}\int\frac{d\left(\frac{1}{t}-1\right)}{\sqrt{\frac{1}{t}-1}} =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{t}-1} =\frac{x^2}{2\sqrt{1-x^4}}+C. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{x^2}{2\sqrt{1-x^4}}+C.[/math]
