1996-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1996 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{(ax+b)\sqrt{x}}[/math].

Решение

Равенство нулю обеих параметров ([math]a=0[/math] и [math]b=0[/math]) невозможно. Случай, когда лишь один параметр ([math]a[/math] или [math]b[/math]) равен нулю, а второй – отличен от нуля, сводится к табличному интегралу. Пусть [math]a\neq{0}[/math] и [math]b\neq{0}[/math].

[dmath] \int\frac{dx}{(ax+b)\sqrt{x}} =\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\frac{b}{a}} [/dmath]

Если [math]\frac{b}{a}\gt{0}[/math], то получим:

[dmath] \frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\frac{b}{a}} =\frac{2}{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{b}{a}}}\cdot\arctg\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{b}{a}}}+C =\frac{2\sgn{a}}{\sqrt{ab}}\cdot\arctg\sqrt{\frac{ax}{b}}+C. [/dmath]

Если [math]\frac{b}{a}\lt{0}[/math], то получим:

[dmath] \frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\frac{b}{a}} =\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(\sqrt{\left|\frac{b}{a}\right|}\right)^2} =\frac{\sgn{a}}{\sqrt{|ab|}}\cdot\ln\left|\frac{\sqrt{|a|\cdot{x}}-\sqrt{|b|}}{\sqrt{|a|\cdot{x}}+\sqrt{|b|}}\right|+C. [/dmath]

Ответ

  1. Если [math]\frac{b}{a}\gt{0}[/math], то [math]\frac{2\sgn{a}}{\sqrt{ab}}\cdot\arctg\sqrt{\frac{ax}{b}}+C[/math].
  2. Если [math]\frac{b}{a}\lt{0}[/math], то [math]\frac{\sgn{a}}{\sqrt{|ab|}}\cdot\ln\left|\frac{\sqrt{|a|\cdot{x}}-\sqrt{|b|}}{\sqrt{|a|\cdot{x}}+\sqrt{|b|}}\right|+C[/math].