Задача №1553
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{(ax+b)\sqrt{x}}\).
Решение
Равенство нулю обеих параметров (\(a=0\) и \(b=0\)) невозможно. Случай, когда лишь один параметр (\(a\) или \(b\)) равен нулю, а второй – отличен от нуля, сводится к табличному интегралу. Пусть \(a\neq{0}\) и \(b\neq{0}\).
\[
\int\frac{dx}{(ax+b)\sqrt{x}}
=\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\frac{b}{a}}
\]
Если \(\frac{b}{a}\gt{0}\), то получим:
\[
\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\frac{b}{a}}
=\frac{2}{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{b}{a}}}\cdot\arctg\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\frac{b}{a}}}+C
=\frac{2\sgn{a}}{\sqrt{ab}}\cdot\arctg\sqrt{\frac{ax}{b}}+C.
\]
Если \(\frac{b}{a}\lt{0}\), то получим:
\[
\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2+\frac{b}{a}}
=\frac{2}{a}\cdot\int\frac{d(\sqrt{x})}{\left(\sqrt{x}\right)^2-\left(\sqrt{\left|\frac{b}{a}\right|}\right)^2}
=\frac{\sgn{a}}{\sqrt{|ab|}}\cdot\ln\left|\frac{\sqrt{|a|\cdot{x}}-\sqrt{|b|}}{\sqrt{|a|\cdot{x}}+\sqrt{|b|}}\right|+C.
\]
Ответ:
- Если \(\frac{b}{a}\gt{0}\), то \(\frac{2\sgn{a}}{\sqrt{ab}}\cdot\arctg\sqrt{\frac{ax}{b}}+C\).
- Если \(\frac{b}{a}\lt{0}\), то \(\frac{\sgn{a}}{\sqrt{|ab|}}\cdot\ln\left|\frac{\sqrt{|a|\cdot{x}}-\sqrt{|b|}}{\sqrt{|a|\cdot{x}}+\sqrt{|b|}}\right|+C\).