Задача №1552
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{x^7dx}{\left(1-x^2\right)^5}\).
Решение
В задачнике предлагается подстановка \(x=\sin{u}\), однако такая подстановка мне не кажется удачной. Полагаю гораздо более удобной подстановку \(z=1-x^2\):
\[
\int\frac{x^7dx}{\left(1-x^2\right)^5}
=-\frac{1}{2}\cdot\int\frac{x^6d\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^5}
=\left[z=1-x^2\right]
=-\frac{1}{2}\cdot\int\frac{(1-z)^3}{z^5}dz=\\
=-\frac{1}{2}\cdot\int\left(z^{-5}-3z^{-4}+3z^{-3}-z^{-2}\right)dz
=\frac{1}{8\left(1-x^2\right)^4}-\frac{1}{2\left(1-x^2\right)^3}+\frac{3}{4\left(1-x^2\right)^2}-\frac{1}{2\left(1-x^2\right)}+C
\]
В принципе, ответ готов. При желании, его можно упростить к той форме, которая дана в задачнике:
\[
\frac{1}{8\left(1-x^2\right)^4}-\frac{1}{2\left(1-x^2\right)^3}+\frac{3}{4\left(1-x^2\right)^2}-\frac{1}{2\left(1-x^2\right)}+C=\\
=\frac{4x^6-6x^4+4x^2-1}{8\left(1-x^2\right)^4}+C
=\frac{x^8-\left(1-x^2\right)^4}{8\left(1-x^2\right)^4}+C
=\frac{x^8}{8\left(1-x^2\right)^4}+C.
\]
Ответ:
\(\frac{x^8}{8\left(1-x^2\right)^4}+C\)