1995-1

Информация о задаче

Задача №1995 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^7dx}{\left(1-x^2\right)^5}[/math].

Решение

В задачнике предлагается подстановка [math]x=\sin{u}[/math], однако такая подстановка мне не кажется удачной. Полагаю гораздо более удобной подстановку [math]z=1-x^2[/math]:

[dmath] \int\frac{x^7dx}{\left(1-x^2\right)^5} =-\frac{1}{2}\cdot\int\frac{x^6d\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^5} =\left[z=1-x^2\right] =-\frac{1}{2}\cdot\int\frac{(1-z)^3}{z^5}dz=\\ =-\frac{1}{2}\cdot\int\left(z^{-5}-3z^{-4}+3z^{-3}-z^{-2}\right)dz =\frac{1}{8\left(1-x^2\right)^4}-\frac{1}{2\left(1-x^2\right)^3}+\frac{3}{4\left(1-x^2\right)^2}-\frac{1}{2\left(1-x^2\right)}+C [/dmath]

В принципе, ответ готов. При желании, его можно упростить к той форме, которая дана в задачнике:

[dmath] \frac{1}{8\left(1-x^2\right)^4}-\frac{1}{2\left(1-x^2\right)^3}+\frac{3}{4\left(1-x^2\right)^2}-\frac{1}{2\left(1-x^2\right)}+C=\\ =\frac{4x^6-6x^4+4x^2-1}{8\left(1-x^2\right)^4}+C =\frac{x^8-\left(1-x^2\right)^4}{8\left(1-x^2\right)^4}+C =\frac{x^8}{8\left(1-x^2\right)^4}+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{x^8}{8\left(1-x^2\right)^4}+C[/math]