1994-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1994 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\frac{\sqrt{x^2+2x}}{x}dx =\int\frac{\sqrt{(x+1)^2-1}}{x}dx =\left[z=x+1\right] =\int\frac{\sqrt{z^2-1}}{z-1}dz =\int\frac{(z+1)\sqrt{z^2-1}}{(z-1)(z+1)}dz =\int\frac{(z+1)\sqrt{z^2-1}}{z^2-1}dz=\\ =\int\frac{z+1}{\sqrt{z^2-1}}dz =\int\frac{zdz}{\sqrt{z^2-1}}+\int\frac{dz}{\sqrt{z^2-1}} =\sqrt{z^2-1}+\ln\left|z+\sqrt{z^2-1}\right|+C =\sqrt{x^2+2x}+\ln\left|x+1+\sqrt{x^2+2x}\right|+C [/dmath]

Ответ

[math]\sqrt{x^2+2x}+\ln\left|x+1+\sqrt{x^2+2x}\right|+C[/math]