Задача №1550
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sqrt[3]{x}dx}{x\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)}\).
Решение
\[
\int\frac{\sqrt[3]{x}dx}{x\left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)}
=\left[x=\sqrt[6]{z};\;dx=6z^5dz.\right]
=\int\frac{6dz}{z^2+z}=\\
=6\int\frac{d\left(z+\frac{1}{2}\right)}{\left(z+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}
=6\ln\left|\frac{z}{z+1}\right|+C
=\ln\frac{x}{\left(\sqrt[6]{x}+1\right)^6}+C.
\]
Ответ:
\(\ln\frac{x}{\left(\sqrt[6]{x}+1\right)^6}+C\)