1990-1

Информация о задаче

Задача №1990 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt[4]{x^3}+1}[/math].

Решение

В двадцать втором издании этот интеграл размещён с ошибкой: в знаменателе должно быть выражение [math]\sqrt[4]{x^3}+1[/math], а не [math]\sqrt[4]{x^3+1}[/math].

[dmath] \int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt[4]{x^3}+1} =\left[\begin{aligned} & x=z^4;\\ & dx=4z^3dz. \end{aligned}\right] =4\int\frac{z^5dz}{z^3+1} =4\int{z^2}dz-4\int\frac{z^2dz}{z^3+1}=\\ =4\cdot\left(\frac{z^3}{3}-\frac{1}{3}\ln\left|z^3+1\right|\right)+C =\frac{4}{3}\cdot\left(\sqrt[4]{x^3}-\ln\left(\sqrt[4]{x^3}+1\right) \right)+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{4}{3}\cdot\left(\sqrt[4]{x^3}-\ln\left(\sqrt[4]{x^3}+1\right) \right)+C[/math]