1990-1
Информация о задаче
Задача №1990 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt[4]{x^3}+1}[/math].
Решение
В двадцать втором издании этот интеграл размещён с ошибкой: в знаменателе должно быть выражение [math]\sqrt[4]{x^3}+1[/math], а не [math]\sqrt[4]{x^3+1}[/math].
[dmath]
\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt[4]{x^3}+1}
=\left[\begin{aligned}
& x=z^4;\\
& dx=4z^3dz.
\end{aligned}\right]
=4\int\frac{z^5dz}{z^3+1}
=4\int{z^2}dz-4\int\frac{z^2dz}{z^3+1}=\\
=4\cdot\left(\frac{z^3}{3}-\frac{1}{3}\ln\left|z^3+1\right|\right)+C
=\frac{4}{3}\cdot\left(\sqrt[4]{x^3}-\ln\left(\sqrt[4]{x^3}+1\right) \right)+C.
[/dmath]
Ответ
[math]\frac{4}{3}\cdot\left(\sqrt[4]{x^3}-\ln\left(\sqrt[4]{x^3}+1\right) \right)+C[/math]
