Задача №1547
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt[4]{x^3}+1}\).
Решение
В двадцать втором издании этот интеграл размещён с ошибкой: в знаменателе должно быть выражение \(\sqrt[4]{x^3}+1\), а не \(\sqrt[4]{x^3+1}\).
\[
\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt[4]{x^3}+1}
=\left[\begin{aligned}
& x=z^4;\\
& dx=4z^3dz.
\end{aligned}\right]
=4\int\frac{z^5dz}{z^3+1}
=4\int{z^2}dz-4\int\frac{z^2dz}{z^3+1}=\\
=4\cdot\left(\frac{z^3}{3}-\frac{1}{3}\ln\left|z^3+1\right|\right)+C
=\frac{4}{3}\cdot\left(\sqrt[4]{x^3}-\ln\left(\sqrt[4]{x^3}+1\right) \right)+C.
\]
Ответ:
\(\frac{4}{3}\cdot\left(\sqrt[4]{x^3}-\ln\left(\sqrt[4]{x^3}+1\right) \right)+C\)