Задача №1545
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sqrt{4+x^2}}{x^6}dx\).
Решение
Здесь можно сделать замену \(x=2\tg{z}\), однако мне представляется более простым иной путь:
\[
\int\frac{\sqrt{4+x^2}}{x^6}dx
=-\int\frac{\sqrt{4+x^2}}{x^4}d\left(\frac{1}{x}\right)
=\left[t=\frac{1}{x}\right]
=-\int{t^4}\sqrt{4+\frac{1}{t^2}}dt=\\
=-\frac{\sgn{t}}{8}\cdot\int{t^2}\sqrt{4t^2+1}d\left(4t^2+1\right)
=-\frac{\sgn{t}}{32}\cdot\int\left(\left(4t^2+1\right)^{\frac{3}{2}}-\left(4t^2+1\right)^{\frac{1}{2}}\right)d\left(4t^2+1\right)=\\
=-\frac{\sgn{t}}{120}\cdot\left(4t^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\left(6t^2-1\right)+C
=-\frac{\sgn{x}}{120}\cdot\frac{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}{|x|^3}\cdot\frac{6-x^2}{x^2}
=\frac{\left(x^2-6\right)\cdot\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}{x^3}+C.
\]
Ответ:
\(\frac{\left(x^2-6\right)\cdot\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}{x^3}+C\)