1988-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1988 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{4+x^2}}{x^6}dx[/math].

Решение

Здесь можно сделать замену [math]x=2\tg{z}[/math], однако мне представляется более простым иной путь:

[dmath] \int\frac{\sqrt{4+x^2}}{x^6}dx =-\int\frac{\sqrt{4+x^2}}{x^4}d\left(\frac{1}{x}\right) =\left[t=\frac{1}{x}\right] =-\int{t^4}\sqrt{4+\frac{1}{t^2}}dt=\\ =-\frac{\sgn{t}}{8}\cdot\int{t^2}\sqrt{4t^2+1}d\left(4t^2+1\right) =-\frac{\sgn{t}}{32}\cdot\int\left(\left(4t^2+1\right)^{\frac{3}{2}}-\left(4t^2+1\right)^{\frac{1}{2}}\right)d\left(4t^2+1\right)=\\ =-\frac{\sgn{t}}{120}\cdot\left(4t^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\left(6t^2-1\right)+C =-\frac{\sgn{x}}{120}\cdot\frac{\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}{|x|^3}\cdot\frac{6-x^2}{x^2} =\frac{\left(x^2-6\right)\cdot\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}{x^3}+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{\left(x^2-6\right)\cdot\sqrt{\left(x^2+4\right)^3}}{x^3}+C[/math]