1987-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1987 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{x^2-8}}{x^4}dx[/math].

Решение

В принципе, можно осуществить замену [math]x=\sqrt{8}\sec{z}[/math], однако мне кажется, что проще будет обойтись без тригонометрии.

Первый способ

[dmath] \int\frac{\sqrt{x^2-8}}{x^4}dx =-\int\frac{\sqrt{x^2-8}}{x^2}d\left(\frac{1}{x}\right) =\left[t=\frac{1}{x}\right] =-\int{t^2}\sqrt{\frac{1}{t^2}-8}dt=\\ =-\sgn{t}\int{t}\sqrt{1-8t^2}dt =\frac{\sgn{t}}{16}\int\left(1-8t^2\right)^{\frac{1}{2}}d\left(1-8t^2\right) =\frac{\sgn{x}}{24}\cdot\sqrt{\left(1-\frac{8}{x^2}\right)^3}+C =\frac{\sqrt{\left(x^2-8\right)^3}}{24x^3}+C [/dmath]

Второй способ

[dmath] \int\frac{\sqrt{x^2-8}}{x^4}dx =\sgn{x}\cdot\int\frac{\sqrt{1-\frac{8}{x^2}}}{x^3}dx =\frac{\sgn{x}}{16}\cdot\int\left(1-\frac{8}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}}d\left(1-\frac{8}{x^2}\right) =\frac{\sgn{x}}{24}\cdot\sqrt{\left(1-\frac{8}{x^2}\right)^3}+C =\frac{\sqrt{\left(x^2-8\right)^3}}{24x^3}+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{\sqrt{\left(x^2-8\right)^3}}{24x^3}+C[/math]