Задача №1544
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sqrt{x^2-8}}{x^4}dx\).
Решение
В принципе, можно осуществить замену \(x=\sqrt{8}\sec{z}\), однако мне кажется, что проще будет обойтись без тригонометрии.
Первый способ
\[
\int\frac{\sqrt{x^2-8}}{x^4}dx
=-\int\frac{\sqrt{x^2-8}}{x^2}d\left(\frac{1}{x}\right)
=\left[t=\frac{1}{x}\right]
=-\int{t^2}\sqrt{\frac{1}{t^2}-8}dt=\\
=-\sgn{t}\int{t}\sqrt{1-8t^2}dt
=\frac{\sgn{t}}{16}\int\left(1-8t^2\right)^{\frac{1}{2}}d\left(1-8t^2\right)
=\frac{\sgn{x}}{24}\cdot\sqrt{\left(1-\frac{8}{x^2}\right)^3}+C
=\frac{\sqrt{\left(x^2-8\right)^3}}{24x^3}+C
\]
Второй способ
\[
\int\frac{\sqrt{x^2-8}}{x^4}dx
=\sgn{x}\cdot\int\frac{\sqrt{1-\frac{8}{x^2}}}{x^3}dx
=\frac{\sgn{x}}{16}\cdot\int\left(1-\frac{8}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}}d\left(1-\frac{8}{x^2}\right)=\\
=\frac{\sgn{x}}{24}\cdot\sqrt{\left(1-\frac{8}{x^2}\right)^3}+C
=\frac{\sqrt{\left(x^2-8\right)^3}}{24x^3}+C
\]
Ответ:
\(\frac{\sqrt{\left(x^2-8\right)^3}}{24x^3}+C\)