1986-1
Информация о задаче
Задача №1986 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2+4}}[/math].
Решение
Можно сделать замену [math]x=2\tg{z}[/math], однако мне кажется более предпочтительным обойтись без тригонометрии. В принципе, надо рассмотреть два случая: [math]t\lt{0}[/math] и [math]t\gt{0}[/math], однако использование функции [math]\sgn{t}[/math] позволит записать два решения в одной записи:
[dmath] \int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2+4}} =-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2\sqrt{x^2+4}} =\left[t=\frac{1}{x}\right] =-\int\frac{t^2dt}{\sqrt{\frac{1}{t^2}+4}} =-\sgn{t}\cdot\int\frac{t^3dt}{\sqrt{4t^2+1}}=\\ =\left[z=4t^2+1\right] =-\frac{\sgn{t}}{32}\cdot\int\frac{(z-1)dz}{\sqrt{z}} =-\frac{\sgn{t}}{32}\cdot\int\left(z^{\frac{1}{2}}-z^{-\frac{1}{2}}\right)dz =-\frac{\sgn{t}}{16}\cdot\sqrt{z}\cdot\left(\frac{z}{3}-1\right)+C=\\ =-\frac{\sgn{t}}{24}\cdot\sqrt{4t^2+1}\cdot\left(2t^2-1\right)+C =-\frac{\sgn{x}}{24}\cdot\sqrt{\frac{4}{x^2}+1}\cdot\left(\frac{2}{x^2}-1\right)+C =\frac{\left(x^2-2\right)\cdot\sqrt{4+x^2}}{24x^3}+C [/dmath]
Ответ
[math]\frac{\left(x^2-2\right)\cdot\sqrt{4+x^2}}{24x^3}+C[/math]
