Задача №1543
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2+4}}\).
Решение
Можно сделать замену \(x=2\tg{z}\), однако мне кажется более предпочтительным обойтись без тригонометрии. В принципе, надо рассмотреть два случая: \(t\lt{0}\) и \(t\gt{0}\), однако использование функции \(\sgn{t}\) позволит записать два решения в одной записи:
\[
\int\frac{dx}{x^4\sqrt{x^2+4}}
=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2\sqrt{x^2+4}}
=\left[t=\frac{1}{x}\right]
=-\int\frac{t^2dt}{\sqrt{\frac{1}{t^2}+4}}
=-\sgn{t}\cdot\int\frac{t^3dt}{\sqrt{4t^2+1}}=\\
=\left[z=4t^2+1\right]
=-\frac{\sgn{t}}{32}\cdot\int\frac{(z-1)dz}{\sqrt{z}}
=-\frac{\sgn{t}}{32}\cdot\int\left(z^{\frac{1}{2}}-z^{-\frac{1}{2}}\right)dz
=-\frac{\sgn{t}}{16}\cdot\sqrt{z}\cdot\left(\frac{z}{3}-1\right)+C=\\
=-\frac{\sgn{t}}{24}\cdot\sqrt{4t^2+1}\cdot\left(2t^2-1\right)+C
=-\frac{\sgn{x}}{24}\cdot\sqrt{\frac{4}{x^2}+1}\cdot\left(\frac{2}{x^2}-1\right)+C
=\frac{\left(x^2-2\right)\cdot\sqrt{4+x^2}}{24x^3}+C
\]
Ответ:
\(\frac{\left(x^2-2\right)\cdot\sqrt{4+x^2}}{24x^3}+C\)