Задача №1542
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{x}dx\).
Решение
Есть разные способы решения данного примера. Например, можно сделать замену \(x=\frac{a}{\cos{z}}\), после чего в полученном интеграле \(a^5\int\tg^6{z}dz\) осуществить замену \(t=\tg{z}\). В принципе, ответ будет получен, но решение выйдет довольно-таки громоздким. Мне кажется более предпочтительным иной путь: домножить числитель и знаменатель на \(x\):
\[
\int\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{x}dx
=\int\frac{x\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{x^2}dx
=\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{x^2}d\left(x^2-a^2\right)=\\
=\left[t=x^2-a^2\right]
=\frac{1}{2}\int\frac{t^2\sqrt{t}dt}{t+a^2}
=\left[u=\sqrt{t};\;t=u^2;\;dt=2udu.\right]
=\int\frac{u^6du}{u^2+a^2}=\\
=\int\left(u^4-a^2u^2+a^4-\frac{a^6}{u^2+a^2}\right)du
=\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{5}-\frac{a^2\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}}{3}+a^4\sqrt{x^2-a^2}-a^5\arctg\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}+C
\]
Ответ:
\(\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{5}-\frac{a^2\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}}{3}+a^4\sqrt{x^2-a^2}-a^5\arctg\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}+C\)