1985-1
Информация о задаче
Задача №1985 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{x}dx[/math].
Решение
Есть разные способы решения данного примера. Например, можно сделать замену [math]x=\frac{a}{\cos{z}}[/math], после чего в полученном интеграле [math]a^5\int\tg^6{z}dz[/math] осуществить замену [math]t=\tg{z}[/math]. В принципе, ответ будет получен, но решение выйдет довольно-таки громоздким. Мне кажется более предпочтительным иной путь: домножить числитель и знаменатель на [math]x[/math]:
[dmath] \int\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{x}dx =\int\frac{x\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{x^2}dx =\frac{1}{2}\int\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{x^2}d\left(x^2-a^2\right)=\\ =\left[t=x^2-a^2\right] =\frac{1}{2}\int\frac{t^2\sqrt{t}dt}{t+a^2} =\left[u=\sqrt{t};\;t=u^2;\;dt=2udu.\right] =\int\frac{u^6du}{u^2+a^2}=\\ =\int\left(u^4-a^2u^2+a^4-\frac{a^6}{u^2+a^2}\right)du =\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{5}-\frac{a^2\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}}{3}+a^4\sqrt{x^2-a^2}-a^5\arctg\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}+C [/dmath]
Ответ
[math]\frac{\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^5}}{5}-\frac{a^2\sqrt{\left(x^2-a^2\right)^3}}{3}+a^4\sqrt{x^2-a^2}-a^5\arctg\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}+C[/math]
