1984-1
Информация о задаче
Задача №1984 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{x^4dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}[/math].
Решение
Первый способ
Полагаем, что интеграл [math]\int\sqrt{a^2-x^2}dx[/math] нам известен. При желании, в принципе, его несложно вывести:
[dmath] \int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\left[ \begin{aligned} & u=\sqrt{a^2-x^2}; \; du=\frac{-xdx}{\sqrt{a^2-x^2}}.\\ & dv=dx; \; v=x. \end{aligned} \right] =x\cdot\sqrt{a^2-x^2}-\int\frac{a^2-x^2-a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\\ =x\cdot\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}\;dx+a^2\cdot\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} =x\cdot \sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2} \; dx +a^2\cdot\arcsin\frac{x}{a}+C. [/dmath]
[dmath] \int\sqrt{a^2-x^2}\;dx=\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C [/dmath]
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
[dmath] \int\frac{x^4dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}} =\left[\begin{aligned} & u=x^3;\;du=3x^2dx;\\ & dv=\frac{xdx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}};\;v=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \end{aligned}\right] =\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}-3\cdot\int\frac{1-x^2-1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\\ =\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}+3\int\sqrt{1-x^2}dx-3\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =\frac{3x-x^3}{2\sqrt{1-x^2}}-\frac{3}{2}\arcsin{x}+C [/dmath]
Второй способ
[dmath] \int\frac{x^4dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}} =\left[\begin{aligned} &x=\sin{z};\\ &dx=\cos{x}dz. \end{aligned}\right] =\int\frac{\sin^4{z}\cdot\cos{z}}{\cos^3{z}}dz =\int\frac{\left(1-\cos^2{z}\right)^2}{\cos^2{z}}dz=\\ =\int\left(\frac{1}{\cos^2{z}}-2+\cos^2{z}\right)dz =\int\left(\frac{1}{\cos^2{z}}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos{2z}\right)dz=\\ =\tg{z}-\frac{3z}{2}+\frac{\sin{2z}}{4}+C =\frac{\sin{z}}{\cos{z}}-\frac{3z}{2}+\frac{\sin{z}\cos{z}}{2}+C =-\frac{x\cdot\left(x^2-3\right)}{2\sqrt{1-x^2}}-\frac{3}{2}\arcsin{x}+C [/dmath]
Ответ
[math]-\frac{x\cdot\left(x^2-3\right)}{2\sqrt{1-x^2}}-\frac{3}{2}\arcsin{x}+C[/math]
