1979-1

Информация о задаче

Задача №1979 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{1+\cos{x}}dx}{\sin{x}}[/math].

Решение

Если [math]x\in\left(-\pi+4\pi{n};4\pi\right)\cup\left(4\pi;\pi+4\pi{n}\right)[/math], [math]n\in{Z}[/math] то получим:

[dmath] \int\frac{\sqrt{1+\cos{x}}dx}{\sin{x}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}} =\sqrt{2}\int\frac{dx}{\sin\frac{x}{2}} =\sqrt{2}\ln\left|\tg\frac{x}{4}\right|+C [/dmath]

Если [math]x\in\left(\pi+4\pi{n};(4n+2)\pi\right)\cup\left((4n+2)\pi;3\pi+4\pi{n}\right)[/math], [math]n\in{Z}[/math], то получим:

[dmath] \int\frac{\sqrt{1+\cos{x}}dx}{\sin{x}} =-\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}\cdot\cos\frac{x}{2}} =-\sqrt{2}\int\frac{dx}{\sin\frac{x}{2}} =-\sqrt{2}\ln\left|\tg\frac{x}{4}\right|+C [/dmath]

Ответ

[math]\sqrt{2}\ln\left|\tg\frac{x}{4}\right|+C[/math]

[math]-\sqrt{2}\ln\left|\tg\frac{x}{4}\right|+C[/math]