Задача №1534
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sin{x}dx}{1+\sin{x}}\).
Решение
\[
\int\frac{\sin{x}dx}{1+\sin{x}}
=\int\left(1-\frac{1}{1+\sin{x}}\right)dx
=\int\left(1-\frac{1-\sin{x}}{\left(1+\sin{x}\right)\cdot\left(1-\sin{x}\right)}\right)dx=\\
=\int\left(1-\frac{1-\sin{x}}{\cos^2{x}}\right)dx
=\int\left(1-\frac{1}{\cos^2{x}}\right)dx-\int\frac{d(\cos{x})}{\cos^2{x}}
=x-\tg{x}+\frac{1}{\cos{x}}+C.
\]
Ответ:
\(x-\tg{x}+\frac{1}{\cos{x}}+C\)