1976-1

Информация о задаче

Задача №1976 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt{3}\cos{x}+\sin{x}}[/math].

Решение

В интеграле из задачника двадцать второго издания в условии ошибка: знаменатель записан в форме [math]\sqrt{3\cos{x}+\sin{x}}[/math].

[dmath] \int\frac{dx}{\sqrt{3}\cos{x}+\sin{x}} =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dx}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{x}+\frac{1}{2}\sin{x}} =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{dx}{\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)} =\frac{1}{2}\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\right|+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{2}\ln\left|\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\right|+C[/math]