1973-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1973 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{e^x}\sin^2{x}dx[/math].

Решение

Найдём вспомогательный интеграл:

[dmath] \int{e^x}\cos{2x}dx =\left[\begin{aligned} & u=e^x;\;du=e^xdx;\\ & dv=\cos{2x}dx;\;v=\frac{\sin{2x}}{2}. \end{aligned}\right] =\frac{e^x\sin{2x}}{2}-\frac{1}{2}\int{e^x}\sin{2x}dx=\\ =\left[\begin{aligned} & u=e^x;\;du=e^xdx;\\ & dv=\sin{2x}dx;\;v=-\frac{\cos{2x}}{2}. \end{aligned}\right] =\frac{e^x\sin{2x}}{2}+\frac{e^x\cos{2x}}{4}-\frac{1}{4}\int{e^x}\cos{2x}dx [/dmath]

Из полученного равенства имеем: [math]\int{e^x}\cos{2x}dx=\frac{e^x}{5}\cdot\left(2\sin{2x}+\cos{2x}\right)[/math].

Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

[dmath] \int{e^x}\sin^2{x}dx =\int{e^x}\cdot\frac{1-\cos{2x}}{2}dx =\int\left(\frac{e^x}{2}-\frac{1}{2}e^x\cos{2x}\right) =\frac{e^x}{2}\cdot\left(1-\frac{2\sin{2x}+\cos{2x}}{5}\right)+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{e^x}{2}\cdot\left(1-\frac{2\sin{2x}+\cos{2x}}{5}\right)+C[/math]