Задача №1530
Условие
Найти интеграл \(\int{e^x}\sin^2{x}dx\).
Решение
Найдём вспомогательный интеграл:
\[
\int{e^x}\cos{2x}dx
=\left[\begin{aligned}
& u=e^x;\;du=e^xdx;\\
& dv=\cos{2x}dx;\;v=\frac{\sin{2x}}{2}.
\end{aligned}\right]
=\frac{e^x\sin{2x}}{2}-\frac{1}{2}\int{e^x}\sin{2x}dx=\\
=\left[\begin{aligned}
& u=e^x;\;du=e^xdx;\\
& dv=\sin{2x}dx;\;v=-\frac{\cos{2x}}{2}.
\end{aligned}\right]
=\frac{e^x\sin{2x}}{2}+\frac{e^x\cos{2x}}{4}-\frac{1}{4}\int{e^x}\cos{2x}dx
\]
Из полученного равенства имеем: \(\int{e^x}\cos{2x}dx=\frac{e^x}{5}\cdot\left(2\sin{2x}+\cos{2x}\right)\).
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
\[
\int{e^x}\sin^2{x}dx
=\int{e^x}\cdot\frac{1-\cos{2x}}{2}dx
=\int\left(\frac{e^x}{2}-\frac{1}{2}e^x\cos{2x}\right)
=\frac{e^x}{2}\cdot\left(1-\frac{2\sin{2x}+\cos{2x}}{5}\right)+C
\]
Ответ:
\(\frac{e^x}{2}\cdot\left(1-\frac{2\sin{2x}+\cos{2x}}{5}\right)+C\)