1970-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1970 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти [math]\int\frac{3+x^3}{\sqrt{2+2x^2}}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\frac{3+x^3}{\sqrt{2+2x^2}}dx =\frac{3}{\sqrt{2}}\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{x^3dx}{\sqrt{x^2+1}} =\frac{3}{\sqrt{2}}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\frac{x^3\cdot{2xdx}}{\sqrt{x^2+1}}=\\ =\left[t=x^2+1;\;dt=2xdx.\right] =\frac{3}{\sqrt{2}}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\left(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}}\right)dt=\\ =\frac{3}{\sqrt{2}}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{2t\sqrt{t}}{3}-2\sqrt{t}\right)+C =\frac{3}{\sqrt{2}}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\frac{1}{3\sqrt{2}}\left(x^2-2\right)\sqrt{x^2+1}+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{3}{\sqrt{2}}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\frac{1}{3\sqrt{2}}\left(x^2-2\right)\sqrt{x^2+1}+C[/math]