Задача №1524
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{e^x-1}{e^x+1}dx\).
Решение
Первый способ
\[
\int\frac{e^x-1}{e^x+1}dx
=\int\frac{e^x+1-2}{e^x+1}dx
=\int{dx}-2\cdot\int\frac{dx}{e^x+1}=\\
=x-2\cdot\int\frac{e^{-x}dx}{e^{-x}+1}
=x+2\cdot\int\frac{d\left(e^{-x}+1\right)}{e^{-x}+1}
=x+2\ln\left(e^{-x}+1\right)+C.
\]
Второй способ
\[
\int\frac{e^x-1}{e^x+1}dx
=\int\frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}}dx
=2\cdot\int\frac{d\left(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\right)}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}}
=2\ln\left(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\right)+C.
\]
Ответ:
\(2\ln\left(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\right)+C\)