1967-1
Информация о задаче
Задача №1967 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{e^x-1}{e^x+1}dx[/math].
Решение
Первый способ
[dmath] \int\frac{e^x-1}{e^x+1}dx =\int\frac{e^x+1-2}{e^x+1}dx =\int{dx}-2\cdot\int\frac{dx}{e^x+1}=\\ =x-2\cdot\int\frac{e^{-x}dx}{e^{-x}+1} =x+2\cdot\int\frac{d\left(e^{-x}+1\right)}{e^{-x}+1} =x+2\ln\left(e^{-x}+1\right)+C. [/dmath]
Второй способ
[dmath]\ \int\frac{e^x-1}{e^x+1}dx =\int\frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}}dx =2\cdot\int\frac{d\left(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\right)}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}} =2\ln\left(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\right)+C. [/dmath]
Ответ
[math]2\ln\left(e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}\right)+C[/math]
