1964-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1964 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{1-\sin{3x}}dx[/math].

Решение

Первый способ

[dmath] \int\frac{dx}{1-\sin{3x}}dx =\int\frac{dx}{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)}dx =\int\frac{dx}{2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}\right)} =\frac{1}{3}\tg\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}\right)+C [/dmath]

Второй способ

[dmath] \int\frac{dx}{1-\sin{3x}}dx =\int\frac{1+\sin{3x}}{\left(1-\sin{3x}\right)\cdot\left(1+\sin{3x}\right)}dx =\int\left(\frac{1}{\cos^2{3x}}+\frac{\sin{3x}}{\cos^2{3x}}\right)dx =\frac{1}{3}\tg{3x}+\frac{1}{3\cos{3x}}+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{3}\tg\left(\frac{\pi}{4}+\frac{3x}{2}\right)+C[/math]