1962-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1962 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^7dx}{\left(1+x^4\right)^2}[/math].

Решение

В двадцать втором издании этот пример с ошибкой: в степени расположено выражение [math]x^2[/math] вместо [math]x^7[/math], как должно быть согласно ответу к этой задаче. Поэтому условие исправлено.

[dmath] \int\frac{x^7dx}{\left(1+x^4\right)^2} =\left[\begin{aligned} & u=x^4;\;du=4x^3dx;\\ & dv=\frac{x^3dx}{\left(1+x^4\right)^2};\;v=-\frac{1}{4\left(1+x^4\right)}. \end{aligned}\right] =-\frac{x^4}{4\left(1+x^4\right)}+\int\frac{x^3dx}{x^4+1}=\\ =-\frac{x^4+1-1}{4\left(1+x^4\right)}+\frac{1}{4}\ln\left(x^4+1\right)+C =\frac{1}{4\left(1+x^4\right)}+\frac{1}{4}\ln\left(x^4+1\right)+C-\frac{1}{4} =\frac{1}{4\left(1+x^4\right)}+\frac{1}{4}\ln\left(x^4+1\right)+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{4\left(1+x^4\right)}+\frac{1}{4}\ln\left(x^4+1\right)+C[/math]