1960-1

Информация о задаче

Задача №1960 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\ln\cos{x}}{\cos^2{x}}dx[/math].

Решение

[dmath] \int\frac{\ln\cos{x}}{\cos^2{x}}dx =\left[\begin{aligned} & u=\ln\cos{x};\;du=-\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx;\\ & dv=\frac{dx}{\cos^2{x}};\;v=\tg{x}. \end{aligned}\right] =\tg{x}\ln\cos{x}+\int\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}dx =\tg{x}\ln\cos{x}+\int\frac{1-\cos^2{x}}{\cos^2{x}}dx =\tg{x}\ln\cos{x}+\tg{x}-x+C [/dmath]

Ответ

[math]\tg{x}\ln\cos{x}+\tg{x}-x+C[/math]