Задача №1516
Условие
Найти интеграл \(\int{e^{2x}}x^3dx\).
Решение
\[
\int{e^{2x}}x^3dx
=\left[\begin{aligned}
& u=x^3;\;du=3x^2dx;\\
& dv=e^{2x}dx;\;v=\frac{e^{2x}}{2}.
\end{aligned}\right]
=\frac{x^3e^{2x}}{2}-\frac{3}{2}\int{x^2}e^{2x}dx
=\left[\begin{aligned}
& u=x^2;\;du=2xdx;\\
& dv=e^{2x}dx;\;v=\frac{e^{2x}}{2}.
\end{aligned}\right]=\\
=\frac{x^3e^{2x}}{2}-\frac{3x^2e^{2x}}{4}+\frac{3}{2}\int{x}e^2xdx
=\left[\begin{aligned}
& u=x;\;du=dx;\\
& dv=e^{2x}dx;\;v=\frac{e^{2x}}{2}.
\end{aligned}\right]=\\
=\frac{x^3e^{2x}}{2}-\frac{3x^2e^{2x}}{4}+\frac{3xe^{2x}}{4}-\frac{3}{4}\int{e^{2x}}dx
=e^{2x}\cdot\left(\frac{x^3}{2}-\frac{3x^2}{4}+\frac{3x}{4}-\frac{3}{8}\right)+C
\]
Ответ:
\(e^{2x}\cdot\left(\frac{x^3}{2}-\frac{3x^2}{4}+\frac{3x}{4}-\frac{3}{8}\right)+C\)