Задача №1511
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{2x+3}}\).
Решение
В принципе, данный интеграл можно найти с помощью замены \(t=\sqrt{\frac{x}{2x+3}}\). Однако проще и быстрее домножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{x}\):
\[
\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{2x+3}}
=\int\frac{xdx}{\sqrt{2x^2+3x}}
=\int\frac{\frac{1}{4}\cdot(4x+3)-\frac{3}{4}}{\sqrt{2x^2+3x}}dx=\\
=\frac{1}{4}\cdot\int\left(2x^2+3x\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(2x^2+3x\right)-\frac{3}{4\sqrt{2}}\cdot\int\frac{d\left(x+\frac{3}{4}\right)}{\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^2-\frac{9}{16}}}=\\
=\frac{\sqrt{2x^2+3x}}{2}-\frac{3}{4\sqrt{2}}\ln\left|x+\frac{3}{4}+\sqrt{2x^2+3x}\right|+C
\]
Ответ:
\(\frac{\sqrt{2x^2+3x}}{2}-\frac{3}{4\sqrt{2}}\ln\left|x+\frac{3}{4}+\sqrt{2x^2+3x}\right|+C\)