1954-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1954 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{2x+3}}[/math].

Решение

В принципе, данный интеграл можно найти с помощью замены [math]t=\sqrt{\frac{x}{2x+3}}[/math]. Однако проще и быстрее домножить числитель и знаменатель на [math]\sqrt{x}[/math]:

[dmath] \int\frac{\sqrt{x}dx}{\sqrt{2x+3}} =\int\frac{xdx}{\sqrt{2x^2+3x}} =\int\frac{\frac{1}{4}\cdot(4x+3)-\frac{3}{4}}{\sqrt{2x^2+3x}}dx=\\ =\frac{1}{4}\cdot\int\left(2x^2+3x\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(2x^2+3x\right)-\frac{3}{4\sqrt{2}}\cdot\int\frac{d\left(x+\frac{3}{4}\right)}{\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^2-\frac{9}{16}}} =\frac{\sqrt{2x^2+3x}}{2}-\frac{3}{4\sqrt{2}}\ln\left|x+\frac{3}{4}+\sqrt{2x^2+3x}\right|+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{\sqrt{2x^2+3x}}{2}-\frac{3}{4\sqrt{2}}\ln\left|x+\frac{3}{4}+\sqrt{2x^2+3x}\right|+C[/math]