Задача №1509
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{(2-5x)dx}{\sqrt{4x^2+9x+1}}\).
Решение
\[
\int\frac{(2-5x)dx}{\sqrt{4x^2+9x+1}}
=\int\frac{\left(-\frac{5}{8}\cdot(8x+9)+\frac{61}{8}\right)dx}{\sqrt{4x^2+9x+1}}=\\
=-\frac{5}{8}\cdot\int\left(4x^2+9x+1\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(4x^2+9x+1\right)+\frac{61}{16}\cdot\int\frac{d\left(2x+\frac{9}{4}\right)}{\sqrt{\left(2x+\frac{9}{4}\right)^2}-\frac{65}{16}}=\\
=-\frac{5}{4}\sqrt{4x^2+9x+1}+\frac{61}{16}\ln\left|2x+\frac{9}{4}+\sqrt{4x^2+9x+1}\right|+C.
\]
Ответ:
\(-\frac{5}{4}\sqrt{4x^2+9x+1}+\frac{61}{16}\ln\left|2x+\frac{9}{4}+\sqrt{4x^2+9x+1}\right|+C\)