Задача №1506
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{2x+5}{\sqrt{9x^2+6x+2}}dx\).
Решение
\[
\int\frac{2x+5}{\sqrt{9x^2+6x+2}}dx
=\frac{1}{9}\cdot\int\frac{18x+6+39}{\sqrt{9x^2+6x+2}}dx=\\
=\frac{1}{9}\cdot\int\left(9x^2+6x+2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(9x^2+6x+2\right)+\frac{13}{9}\cdot\int\frac{d(3x+1)}{\sqrt{(3x+1)^2+1}}=\\
=\frac{2}{9}\sqrt{9x^2+6x+2}+\frac{13}{9}\ln\left(3x+1+\sqrt{9x^2+6x+2}\right)+C.
\]
Ответ:
\(\frac{2}{9}\sqrt{9x^2+6x+2}+\frac{13}{9}\ln\left(3x+1+\sqrt{9x^2+6x+2}\right)+C\)