1948-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1948 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{(x-2)dx}{x^2-7x+12}[/math].

Решение

Так как примеры на интегрирование рациональных дробей в Бермане рассматриваются в следующем параграфе, то общий метод разложения рациональных дробей на элементарные применять не станем. Впрочем, здесь вполне можно обойтись и без него:

[dmath] \frac{(x-2)dx}{x^2-7x+12} =\frac{(x-3+1)dx}{(x-3)(x-4)} =\frac{1}{x-4}+\frac{1}{(x-3)(x-4)}=\\ =\frac{1}{x-4}+\frac{x-3-(x-4)}{(x-3)(x-4)} =\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3} =\frac{2}{x-4}-\frac{1}{x-3}. [/dmath]

Возвращаясь к исходному интегралу, получим:

[dmath] \int\frac{(x-2)dx}{x^2-7x+12} =\int\left(\frac{2}{x-4}-\frac{1}{x-3}\right)dx =2\ln|x-4|-\ln|x-3|+C [/dmath]

Ответ

[math]2\ln|x-4|-\ln|x-3|+C[/math]