Задача №1504
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{(3x-1)dx}{\sqrt{x^2+2x+2}}\).
Решение
\[
\int\frac{(3x-1)dx}{\sqrt{x^2+2x+2}}
=\frac{3}{2}\cdot\int\frac{2x+2-\frac{8}{3}}{\sqrt{x^2+2x+2}}dx=\\
=\frac{3}{2}\cdot\int\left(x^2+2x+2\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(x^2+2x+2\right)-4\cdot\int\frac{d(x+1)}{\sqrt{(x+1)^2+1}}=\\
=3\sqrt{x^2+2x+2}-4\ln\left(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}\right)+C
\]
Ответ:
\(3\sqrt{x^2+2x+2}-4\ln\left(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}\right)+C\)