1935-1

Информация о задаче

Задача №1935 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{xdx}{\sqrt{2+4x}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{xdx}{\sqrt{2+4x}} =\frac{1}{2}\int\frac{xdx}{\sqrt{x+\frac{1}{2}}} =\frac{1}{2}\int\frac{x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{\sqrt{x+\frac{1}{2}}}dx=\\ =\frac{1}{2}\int\left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}\right)dx =\frac{\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^3}}{3}-\frac{\sqrt{x+\frac{1}{2}}}{2}+C. [/math]

Ответ

[math]\frac{\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^3}}{3}-\frac{\sqrt{x+\frac{1}{2}}}{2}+C[/math]