Задача №1488
Условие
Найти интеграл \(\int\sqrt{\tg^3{x}}\sec^4{x}dx\).
Решение
\[
\int\sqrt{\tg^3{x}}\sec^4{x}dx
=\int\sqrt{\tg^3{x}}\cdot\frac{1}{\cos^2{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}}=\\
=\int\left(\tg{x}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\left(1+\tg^2{x}\right)d(\tg{x})
=\int\left(\left(\tg{x}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\tg{x}\right)^{\frac{7}{2}}\right)d(\tg{x})
=\frac{2(\tg{x})^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{2(\tg{x})^{\frac{9}{2}}}{9}+C.
\]
Ответ:
\(\frac{2(\tg{x})^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{2(\tg{x})^{\frac{9}{2}}}{9}+C\)