1931-1

Информация о задаче

Задача №1931 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sqrt{\tg^3{x}}\sec^4{x}dx[/math].

Решение

[math] \int\sqrt{\tg^3{x}}\sec^4{x}dx =\int\sqrt{\tg^3{x}}\cdot\frac{1}{\cos^2{x}}\cdot\frac{dx}{\cos^2{x}} =\int\left(\tg{x}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\left(1+\tg^2{x}\right)d(\tg{x})=\\ =\int\left(\left(\tg{x}\right)^{\frac{3}{2}}+\left(\tg{x}\right)^{\frac{7}{2}}\right)d(\tg{x}) =\frac{2(\tg{x})^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{2(\tg{x})^{\frac{9}{2}}}{9}+C. [/math]

Ответ

[math]\frac{2(\tg{x})^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{2(\tg{x})^{\frac{9}{2}}}{9}+C[/math]