Задача №1484
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{(\arctg{x})^n}{1+x^2}dx\).
Решение
\[
\int\frac{(\arctg{x})^n}{1+x^2}dx
=\int(\arctg{x})^{n}d(\arctg{x})
\]
Если \(n=-1\), то получим:
\[
\int(\arctg{x})^{n}d(\arctg{x})
=\ln|\arctg{x}|+C
\]
Если же \(n\neq{-1}\), то получим:
\[
\int(\arctg{x})^{n}d(\arctg{x})
=\frac{(\arctg{x})^{n+1}}{n+1}+C.
\]
Ответ:
Если \(n=-1\), то интеграл равен \(\ln|\arctg{x}|+C\). Если же \(n\neq{-1}\), то интеграл равен \(\frac{(\arctg{x})^{n+1}}{n+1}+C\).