1926-1

Информация о задаче

Задача №1926 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^2-x+1}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}dx[/math].

Решение

[math] \int\frac{x^2-x+1}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}dx =\int\left(\frac{x^2+1}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}-\frac{x}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}\right)dx=\\ =\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}-\frac{1}{2}\int\left(x^2+1\right)^{-\frac{3}{2}}d\left(x^2+1\right) =\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+C. [/math]

Ответ

[math]\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+C[/math]