1909-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1909 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\arctg{x}dx}{x^2\left(1+x^2\right)}[/math]

Решение

Полагаем [math]x=\tg{t}[/math] при условии [math]-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt\frac{\pi}{2}[/math]. Так как [math]dx=\frac{dt}{\cos^2{t}}[/math], то получим:

[math] \int\frac{\arctg{x}dx}{x^2\left(1+x^2\right)} =\int\frac{t\cdot\frac{dt}{\cos^2{t}}}{\tg^2{t}\cdot\frac{1}{\cos^2{t}}} =\int{t}\ctg^2{t}dt =\int\left(\frac{t}{\sin^2{t}}-t\right)dt =\int\frac{tdt}{\sin^2{t}}-\frac{t^2}{2}=\\ =\left[\begin{aligned} & u=t;\;du=dt;\\ & dv=\frac{dt}{\sin^2{t}};\;v=-\ctg{t}. \end{aligned}\right] =-t\ctg{t}+\int\ctg{t}dt-\frac{t^2}{2} =-t\ctg{t}+\ln|\sin{t}|-\frac{t^2}{2}+C=\\ =-\frac{t}{\tg{t}}+\ln\frac{|\tg{t}|}{\sqrt{1+\tg^2{t}}}-\frac{t^2}{2}+C =-\frac{\arctg{x}}{x}+\ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{\arctg^2{x}}{2}+C. [/math]

Ответ

[math]-\frac{\arctg{x}}{x}+\ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{\arctg^2{x}}{2}+C[/math]