1908-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1908 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{x^2\arctg{x}dx}{1+x^2}dx[/math].

Решение

Полагаем [math]x=\tg{t}[/math] при условии [math]-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt\frac{\pi}{2}[/math]. Интеграл [math]\int\frac{tdt}{\cos^2{t}}[/math] был найден в примере 1907-1, поэтому в ходе решения просто используем готовый результат.

[math] \int\frac{x^2\arctg{x}dx}{1+x^2}dx =\int\frac{\tg^2{t}\cdot{t}\cdot\frac{dt}{\cos^2{t}}}{\frac{1}{\cos^2{t}}} =\int{t}\tg^2{t}dt =\int\left(-t+\frac{t}{\cos^2{t}}\right)dt=\\ =-\frac{t^2}{2}+\int\frac{tdt}{\cos^2{t}} =-\frac{t^2}{2}+t\tg{t}+\ln|\cos{t}|+C=\\ =-\frac{t^2}{2}+t\tg{t}+\ln\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2{t}}}+C =-\frac{\arctg^2{x}}{2}+x\arctg{x}-\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+C [/math]

Ответ

[math]-\frac{\arctg^2{x}}{2}+x\arctg{x}-\frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right)+C[/math]