1907-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1907 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\arcsin{x}dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}[/math]

Решение

Полагаем [math]x=\sin{t}[/math] при условии [math]-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt\frac{\pi}{2}[/math]. При этом условии [math]\arcsin\sin{t}=t[/math], [math]dx=\cos{t}dt[/math]. Кроме того, при [math]-\frac{\pi}{2}\lt{t}\lt\frac{\pi}{2}[/math] имеем [math]\cos{t}\gt{0}[/math], что будет учтёно в решении. Так как [math]\sqrt{1-x^2}=\cos{t}[/math], то получим:

[math] \int\frac{\arcsin{x}dx}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}} =\int\frac{tdt}{\cos^2{t}} =\left[\begin{aligned} & u=t;\;du=dt;\\ & dv=\frac{dt}{\cos^2{t}};\;v=\tg{t}. \end{aligned}\right] =t\cdot\tg{t}-\int\tg{t}dt=\\ =t\cdot\tg{t}+\ln|\cos{t}|+C =\frac{t\sin{t}}{\sqrt{1-\sin^2t}}+\ln\sqrt{1-\sin^2{t}}+C =\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)+C [/math]

Ответ

[math]\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)+C[/math]