Задача №1463
Условие
Найти интеграл \(\int\sin\sqrt[3]{x}dx\).
Решение
\[
\int\sin\sqrt[3]{x}dx
=\left[\begin{aligned}
& t=\sqrt[3]{x}; x=t^3.\\
& dx=3t^2dt.
\end{aligned}\right]
=3\int{t^2}\sin{t}dt
=\left[\begin{aligned}
& u=t^2;\;du=2tdt;\\
& dv=\sin{t}dt;\;v=-\cos{t}.
\end{aligned}\right]=\\
=-3t^2\cos{t}+6\int{t}\cos{t}dt
=\left[\begin{aligned}
& u=t;\;du=dt;\\
& dv=\cos{t}dt;\;v=\sin{t}.
\end{aligned}\right]
=-3t^2\cos{t}+6t\sin{t}-6\int\sin{t}dt=\\
=-3t^2\cos{t}+6t\sin{t}+6\cos{t}+C
=-3\sqrt[3]{x^2}\cos\sqrt[3]{x}+6\sqrt[3]{x}\sin\sqrt[3]{x}+6\cos\sqrt[3]{x}+C
\]
Ответ:
\(-3\sqrt[3]{x^2}\cos\sqrt[3]{x}+6\sqrt[3]{x}\sin\sqrt[3]{x}+6\cos\sqrt[3]{x}+C\)