Задача №1458
Условие
Найти интеграл \(\int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}}\).
Решение
В решебниках эту задачу предлагается решить с помощью замены \(x=\frac{\tg{t}}{2}\). В принципе, это простая замена, которая даст нам следующий результат:
\[
\int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}}
=\left|x=\frac{\tg{t}}{2};\;dx=\frac{dt}{2\cos^2{t}}\right|
=\int\frac{2\cos{t}dt}{\sin^2{t}+16\cos^2{t}}
=\frac{2}{\sqrt{15}}\int\frac{d(\sqrt{15}\sin{t})}{16-15\sin^2{t}}
=\ldots
\]
Дальнейшее решение очевидно. Мне кажется более интересной замена \(x=\frac{1}{z}\). Такую замену в данном примере надо рассматривать для двух случаев: \(z\gt{0}\) и \(z\lt{0}\). Я рассмотрю случай \(z\gt{0}\), а вариант \(z\lt{0}\) рассматривается аналогично.
\[
\int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}}
=\left|x=\frac{1}{z};\;dx=-\frac{dz}{z^2}\right|
=-\int\frac{zdz}{\left(4z^2+1\right)\sqrt{4+z^2}}=\\
=\left|t=\sqrt{4+z^2}; z^2=t^2-4; zdz=tdt.\right|
=-\int\frac{dt}{4t^2-15}
=-\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2t-\sqrt{15}}{2t+\sqrt{15}}\right|+C=\\
=-\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-\sqrt{15}}{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{15}}\right|+C
=\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}x}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}x}\right|+C
\]
В принципе, оба варианта (\(z\lt{0}\) и \(z\gt{0}\)) можно рассмотреть в одной записи, если использовать функцию знака \(\sgn{z}\):
\[
\int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}}
=\left|x=\frac{1}{z};\;dx=-\frac{dz}{z^2}\right|
=-\sgn{z}\cdot\int\frac{zdz}{\left(4z^2+1\right)\sqrt{4+z^2}}=\\
=\left|t=\sqrt{4+z^2}; z^2=t^2-4; zdz=tdt.\right|
=-\sgn{z}\cdot\int\frac{dt}{4t^2-15}
=-\frac{\sgn{z}}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2t-\sqrt{15}}{2t+\sqrt{15}}\right|+C=\\
=-\frac{\sgn{x}}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-\sqrt{15}}{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{15}}\right|+C
=\frac{\sgn{x}}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}\cdot|x|}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}\cdot|x|}\right|+C
=\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}x}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}x}\right|+C
\]
Ответ:
\(\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}x}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}x}\right|+C\)