1901-1

Реклама
Материал из Решебника

Информация о задаче

Задача №1901 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}}[/math].

Решение

В решебниках эту задачу предлагается решить с помощью замены [math]x=\frac{\tg{t}}{2}[/math]. В принципе, это простая замена, которая даст нам следующий результат:

[dmath] \int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}} =\left|x=\frac{\tg{t}}{2};\;dx=\frac{dt}{2\cos^2{t}}\right| =\int\frac{2\cos{t}dt}{\sin^2{t}+16\cos^2{t}} =\frac{2}{\sqrt{15}}\int\frac{d(\sqrt{15}\sin{t})}{16-15\sin^2{t}} =\ldots [/dmath]

Дальнейшее решение очевидно. Мне кажется более интересной замена [math]x=\frac{1}{z}[/math]. Такую замену в данном примере надо рассматривать для двух случаев: [math]z\gt{0}[/math] и [math]z\lt{0}[/math]. Я рассмотрю случай [math]z\gt{0}[/math], а вариант [math]z\lt{0}[/math] рассматривается аналогично.

[dmath] \int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}} =\left|x=\frac{1}{z};\;dx=-\frac{dz}{z^2}\right| =-\int\frac{zdz}{\left(4z^2+1\right)\sqrt{4+z^2}}=\\ =\left|t=\sqrt{4+z^2}; z^2=t^2-4; zdz=tdt.\right| =-\int\frac{dt}{4t^2-15} =-\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2t-\sqrt{15}}{2t+\sqrt{15}}\right|+C=\\ =-\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-\sqrt{15}}{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{15}}\right|+C =\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}x}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}x}\right|+C [/dmath]

В принципе, оба варианта ([math]z\lt{0}[/math] и [math]z\gt{0}[/math]) можно рассмотреть в одной записи, если использовать функцию знака [math]\sgn{z}[/math]:

[dmath] \int\frac{dx}{\left(x^2+4\right)\cdot\sqrt{4x^2+1}} =\left|x=\frac{1}{z};\;dx=-\frac{dz}{z^2}\right| =-\sgn{z}\cdot\int\frac{zdz}{\left(4z^2+1\right)\sqrt{4+z^2}}=\\ =\left|t=\sqrt{4+z^2}; z^2=t^2-4; zdz=tdt.\right| =-\sgn{z}\cdot\int\frac{dt}{4t^2-15} =-\frac{\sgn{z}}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2t-\sqrt{15}}{2t+\sqrt{15}}\right|+C=\\ =-\frac{\sgn{x}}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}-\sqrt{15}}{2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{15}}\right|+C =\frac{\sgn{x}}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}\cdot|x|}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}\cdot|x|}\right|+C =\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}x}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}x}\right|+C [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{4\sqrt{15}}\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+4}+\sqrt{15}x}{2\sqrt{x^2+4}-\sqrt{15}x}\right|+C[/math]