Задача №1457
Условие
Найти интеграл \(\int{x^2\sqrt{4-x^2}dx}\).
Решение
\[
\int{x^2\sqrt{4-x^2}dx}
=\left[\begin{aligned}& x=2\sin{u};\\& dx=2\cos{u}du.\end{aligned}\right]
=16\int\sin^2{u}\cos^2{u}du=\\
=2\int\left(1-\cos{4u}\right)du
=2u-\frac{1}{2}\cdot\sin{4u}+C
=2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot\sin\left({4\arcsin\frac{x}{2}}\right)+C
\]
Ответ:
\(2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot\sin\left({4\arcsin\frac{x}{2}}\right)+C\)