1900-1

Информация о задаче

Задача №1900 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int{x^2\sqrt{4-x^2}dx}[/math].

Решение

[math] \int{x^2\sqrt{4-x^2}dx} =\left|\begin{aligned}&x=2\sin{u};\\&dx=2\cos{u}du.\end{aligned}\right| =16\int\sin^2{u}\cos^2{u}du=\\ =2\int\left(1-\cos{4u}\right)du =2u-\frac{1}{2}\cdot\sin{4u}+C =2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot\sin\left({4\arcsin\frac{x}{2}}\right)+C [/math]

Ответ

[math]2\arcsin\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot\sin\left({4\arcsin\frac{x}{2}}\right)+C[/math]